Def.: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterscheidbaren Objekten unseres Denkens oder unserer Anschauung.
Es gibt eine festgelegte Nomenklatur, die die Schreibweisen in der Mengenlehre einheitlich regelt. So werden alle Mengen generell mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Kleine lateinische Buchstaben stehen für die Elemente von Mengen.
Bsp.: Sei A die Menge aller geraden Zahlen kleiner als 10; A = {2, 4, 6, 8}. Sei a=4 und b=3, dann ist a ein Element von A, aber b ist kein Element von A.
Formal schreibt man das so:
Folgende Begriffe sind noch wichtig zu kennen:
Die Abbildung zeigt verschiedene Mengen, die je drei Elemente enthalten. Es sind sogenannte Dreiermengen. Das kann man bei dieser geringen Anzahl von Elementen auf einen Blick erfassen. Auf jeden Fall bekommt man es aber durch Abzählen der Elemente heraus. Die Mengen sind gleichmächtig. Aber wie kann man das entscheiden, ohne ihre Elemente abzuzählen? Hierzu muß man den Begriff der Zuordnung einführen.
Def.: Seien A und B Mengen und Z sei eine Teilmenge des Kreuzproduktes von A und B. Dann ist Z eine Zuordnung aus dem Definitionsbereich A in den Wertevorrat B.
Zuordnungen können verschiedene Eigenschaften haben. Man definiert:
Def.: Eine Zuordnung Z aus A in B heißt eindeutig genau dann, wenn jedem Element aus A höchstens ein Element aus B zugeordnet ist.
Bsp.: Jeder geometrischen Figur wird die Anzahl ihrer Ecken zugeordnet. Jeder Figur kann man diese Zahl eindeutig zuordnen, aber es gibt verschiedene Figuren, die die gleiche Anzahl von Ecken haben.
Def.: Eine eindeutige Zuordnung Z aus A in B heißt eineindeutig genau dann, wenn jedes Element aus B höchstens einem Element aus A zugeordnet ist.
Wird jedem Element von A eines aus B zugeordnet, so spricht man von einer Zuordnung Z von A in B. Wird jedes Element von B einem aus A zugeordnet, so spricht man von einer Zuordnung Z aus A auf B.
Bei einer eineindeutigen Zuordnung Z von A auf B wird jedem Element von A genau ein Element von B zugeordnet und jedes Element von B ist genau einem Element von A zugeordnet. Hier einige Beispiele:
Aus der obigen Aussage erkennt man schon, daß man so die Gleichmächtigkeit definieren kann.
Def.: Zwei Mengen A und B sind genau dann gleichmächtig, wenn es eine eineindeutige Zuordnung von A auf B gibt.
Dieser Sachverhalt, der sich mengentheoretisch etwas kompliziert darstellt, wird von kleinen Kinder schon vor dem Zählen beherrscht.
Bsp.: Ein kleines Kind deckt den Frühstückstisch. Es ordnet jedem Stuhl am Tisch ein Stullenbrett, ein Messer, eine Tasse, eine Untertasse und einen Löffel zu. So stellt es fest, daß am Tisch jeweils gleich viele Stühle, Bretter, Messer, Tassen, Untertassen und Löffel vorhanden sind, auch wenn es deren Anzahl nicht zählen kann.
Jetzt können wir definieren, was eine Kardinalzahl ist.
Def.: Sei A eine beliebige endliche Menge, dann heißt die Menge card A, die die Menge aller Mengen ist, die gleichmächtig zu A sind, Kardinalzahl von A.
Die Natürlichen Zahlen sind genau diese Kardinalzahlen endlicher Mengen.
Bsp.: Die Menge aller Dreiermengen nennt man die Zahl Drei und gibt ihr das Symbol 3. Sie enthält unendlich viele "Dreiermengen". Jede dieser Dreiermengen ist ein Repräsentant für die Zahl 3.
Die Null ist die Kardinalzahl der leeren Menge. Sie gehört somit mit zu den natürlichen Zahlen.
